El matemático que afirma que pi no es un número

Este 2 de julio cumple 70 años Doron Zeilberger, profesor en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Rutgers (EE UU), quien es bien conocido por sus contribuciones a la combinatoria, especialmente por la creación junto a Herbert Wilf de la llamada teoría de los pares WZ por lo que recibieron el célebre premio Leroy P. Steele en 1998. Aparte de su merecido prestigio como matemático, basta curiosear un poco en su página web para entender que también destaca por sus opiniones controvertidas.

Más allá de algunas manías muy loables sobre horarios y uso de teléfonos móviles y ordenadores en los seminarios científicos (en concreto, defiende que no se deberían usar las charlas como excusa para revisar el correo electrónico personal), su convicción más singular es que se adhiere al ultrafinitismo, una negación severa del infinito “puro” matemático. Esta doctrina va en la línea de una corriente de la filosofía de las matemáticas llamada intuicionismo, más conocida y menos extrema. En términos prácticos, Zeilberger considera que solo tiene sentido aquello que es  algorítmicamente construible.

No debe entonces extrañar que sea un verdadero adalid en el uso del ordenador en las demostraciones matemáticas. Así, por ejemplo, aplicando los pares WZ antes mencionados, un computador puede probar cierto tipo de igualdades (como se explica magistralmente en su libro A=B). Esto va más allá del uso habitual que dan al ordenador la mayor parte de los matemáticos y quizá es suficiente para justificar que el de Zeilberger, llamado Shalosh B. Ekhad, aparezca como coautor en algunos de sus artículos de investigación, incluso excepcionalmente como único autor. Uno de sus últimos resultados, del que hablamos más abajo, es una prueba, en sus propias palabras, “totalmente rigurosa, hecha por humanos y legible por humanos”, pero descubierta gracias al ordenador.

Sus seminarios son bastante espectaculares y no pierde ocasión para expresar sus convicciones en ellos. Podemos encontrarlo diciendo a voz en grito que “¡los números reales no son reales, es un oxímoron!” en una conferencia titulada El auge y declive de la astrología y el futuro declive del llamado infinito, relativizar el famoso teorema de incompletitud de Gödel mencionando que para él las afirmaciones matemáticas son “verdaderas, falsas o sin sentido”, o defender en otra charla, llamada Lo que es pi y lo que no es , que “pi no es un número”. En su opinión, pi está definido como clase de equivalencia de los algoritmos que lo aproximan, es decir, en vez de un número es una colección de algoritmos.

Pues bien, pese a estas controvertidas afirmaciones, Zeilberger ha probado recientemente, en colaboración con Wadim Zudilin, un resultado sobre lo que se llama la medida de la irracionalidad de pi. La medida de la irracionalidad está relacionada con aproximar pi, o cualquier otro número real, mediante fracciones. Para ello se podría truncar el desarrollo decimal, así p=3,14159... se aproxima bien por 3141/1000 o por 314159/100000. Sin embargo, el objetivo es obtener fracciones que podríamos tildar de bonitas, que constituyen una buena aproximación y tienen un denominador comparativamente pequeño. Por ejemplo, 22/7 da una aproximación de pi, ya mencionada por Arquímedes, con un error de unas 1,3 milésimas. Así con un denominador de una cifra se consiguen casi tres cifras decimales de precisión. La siguiente “fracción bonita”, obtenida por Zu Chongzhi en el siglo V e imbatida durante ocho siglos más, es 355/113, que comete un error de menos de 0.3 millonésimas a pesar de que el denominador tiene apenas 3 dígitos.

Lo que ahora Zeilberger y Zudilin han probado es, básicamente, que no es posible, con denominadores grandes de n cifras obtener algo así como más de 7n cifras de precisión. El enunciado concreto puede entenderse como sigue: Hay un resultado clásico que afirma que para cualquier número irracional es posible obtener infinitas aproximaciones m/n con un error menor que 1/n². También se sabe que solo es posible cambiar el exponente 2 por otro mayor para números muy excepcionales, y lo natural es creer que pi no está entre ellos. Lo que demuestran Zeilberger y Zudilin es que para pi el exponente no puede reemplazarse por algo ligeramente mayor que 7,1. Este número reduce el anteriormente conocido apenas un 7% y todavía queda un largo trecho hasta el 2 esperado, pero confiemos en que Dr. Z., como se autodenomina Zeilberger y como le llaman con cariño sus estudiantes, junto a Zudilin y sus ayudantes de silicio, conserve todavía algún as en la manga para reseñar antes de su próximo cumpleaños.